wordpressのカスタム投稿タイプの記事を別サーバーにあるシステムのダッシュボードに表示させたいとのことだったので、データをjson形式で吐き出してあとはシステム会社に対応してもらうことにした。
先だってfunction.phpに諸々設定を書いていたので、apiを叩いた時に情報が表示されないということはなかった。例えば下記の一文。

'show_in_rest' => true,
'rest_base'    => 'success-story',

だた問題は件数を指定しようとするとエラーを返されてハマてしまったがなんとか今回も攻略できた。

こんな感じでURLをかくとカスタム投稿タイプの記事を任意の件数取得できるみたい。

「ドメイン」「/wp-json/wp/v2/」「カスタム投稿タイプ名」「?per_page=取得したい件数」

実際にかくとこんな感じ（カスタム投稿タイプ「success-story」の記事を３記事表示）

http://example.com/wp-json/wp/v2/success-story?per_page=3

自分の役目はここまで、あとはシステム会社のプロがよしなにやってくれることでしょう。